Chú thích Số nguyên tố

  1. 1 2 Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Largest Known Primes”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  2. ↑ Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. tr. 26. ISBN 978-0-19-850105-3. 
  3. ↑ Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (ấn bản 2). Routledge. tr. 62. ISBN 978-1-136-63662-2. 
  4. ↑ Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. tr. 16. OCLC 6975809. 
  5. ↑ Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. tr. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9. 
  6. ↑ Dudley, Underwood (1978). “Section 2: Unique factorization”. Elementary number theory (ấn bản 2). W.H. Freeman and Co. tr. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0. 
  7. ↑ Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library 31 (ấn bản 2). Elsevier. tr. 113. ISBN 978-0-08-096019-7. 
  8. 1 2 Ziegler, Günter M. (2004). “The great prime number record races”. Notices of the American Mathematical Society 51 (4): 414–416. MR 2039814. 
  9. ↑ Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. tr. 9. ISBN 978-0-387-98289-2. 
  10. ↑ Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. tr. 40. MR 0170843. 
  11. ↑ Nathanson, Melvyn B. (2000). “Notations and Conventions”. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941. 
  12. ↑ Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts 111 (ấn bản 2). John Wiley & Sons. tr. 44. ISBN 978-1-118-24382-4. 
  13. ↑ Bruins, Evert Marie, bình duyệt trong Mathematical Reviews của Gillings, R.J. (1974). “The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?”. Archive for History of Exact Sciences 12 (4): 291–298. MR 0497458. doi:10.1007/BF01307175. 
  14. ↑ Caldwell, Chris K. “Euclid's Proof of the Infinitude of Primes (c. 300 BC)”. The Prime Pages. University of Tennessee. Truy cập ngày 20 tháng 9 năm 2020. 
  15. 1 2 Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản 3). Springer. tr. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8. 
  16. 1 2 Pomerance, Carl (tháng 12 năm 1982). “The Search for Prime Numbers”. Scientific American 247 (6): 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. JSTOR 24966751. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. 
  17. 1 2 3 Mollin, Richard A. (2002). “A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)”. Mathematics Magazine 75 (1): 18–29. JSTOR 3219180. MR 2107288. doi:10.2307/3219180. 
  18. ↑ O'Connor, John J.; Edmund F. Robertson, “Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham”, Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor, Đại học St. Andrews 
  19. ↑ Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. tr. 45. ISBN 978-0-88385-563-8. 
  20. ↑ Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. tr. 42. ISBN 978-0-88385-584-3. 
  21. ↑ Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. tr. 369. ISBN 978-0-12-421171-1. 
  22. ↑ Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics 4 (ấn bản 2). World Scientific. tr. 21. ISBN 978-981-4487-52-8. 
  23. ↑ Narkiewicz, Wladyslaw (2000). “1.2 Sum of Reciprocals of Primes”. The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. tr. 11. ISBN 978-3-540-66289-1. 
  24. ↑ Apostol, Tom M. (2000). “A centennial history of the prime number theorem”. Trong Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. tr. 1–14. MR 1764793. 
  25. ↑ Apostol, Tom M. (1976). “7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions”. Introduction to Analytic Number Theory. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. tr. 146–156. MR 0434929. 
  26. ↑ Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. tr. 261. ISBN 978-3-642-18192-4. 
  27. ↑ Rosen, Kenneth H. (2000). “Theorem 9.20. Proth's Primality Test”. Elementary Number Theory and Its Applications (ấn bản 4). Addison-Wesley. tr. 342. ISBN 978-0-201-87073-2. 
  28. ↑ Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). The Once and Future Turing. Cambridge University Press. tr. 37–38. ISBN 978-1-107-01083-3. 
  29. ↑ Rosen 2000, tr. 245
  30. ↑ Beiler, Albert H. (1999) [1966]. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. Dover. tr. 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC 444171535. 
  31. ↑ Katz, Shaul (2004). “Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem”. Science in Context 17 (1–2): 199–234. MR 2089305. doi:10.1017/S0269889704000092. 
  32. 1 2 3 Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). Elementary Number Theory. Textbooks in mathematics. CRC Press. tr. 7. ISBN 978-1-4987-0269-0. 
  33. ↑ Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. tr. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1. 
  34. ↑ Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions 11. Cambridge University Press. tr. 224. ISBN 978-0-88385-315-3. 
  35. 1 2 Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. tr. 18, 47. ISBN 978-0-19-109243-5. 
  36. 1 2 Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). “The history of the primality of one: a selection of sources”. Journal of Integer Sequences 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523.  Đối với những câu nói chọn lọc của các nhà toán học Hy Lạp về vấn đề này, xem tr. 3–4. Đối với các nhà toán học Hồi giáo, xem tr. 6.
  37. ↑ Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy 39. Brill. tr. 35–38. ISBN 978-90-04-06505-5. 
  38. ↑ Caldwell và đồng nghiệp 2012, tr. 7–13. Đặc biệt xem mục về Stevin, Brancker, Wallis và Prestet.
  39. ↑ Caldwell và đồng nghiệp 2012, tr. 15
  40. 1 2 3 Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). “What is the smallest prime?” (PDF). Journal of Integer Sequences 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530. 
  41. ↑ Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (ấn bản 2). Basel, Switzerland: Birkhäuser. tr. 36. ISBN 978-0-8176-3743-9. MR 1292250. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. 
  42. 1 2 Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. tr. 129–130. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. 
  43. ↑ Đối với hàm phi Euler, xem Sierpiński 1988, tr. 245. Đối với hàm tổng các ước số, xem Sandifer 2007, tr. 59.
  44. ↑ Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (ấn bản 12). Cengage Learning. tr. 188. ISBN 978-0-538-73758-6. 
  45. ↑ Dudley 1978, tr. 16; Neale 2017, tr. 107
  46. ↑ du Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. tr. 23. ISBN 978-0-06-093558-0. 
  47. ↑ Dudley 1978, tr. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. tr. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3. 
  48. ↑ Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (ấn bản 2). Prentice Hall. tr. 56. ISBN 978-0-13-011584-3. 
  49. ↑ Thư của Goldbach gửi Euler bằng tiếng Latinh năm 1730 trong Fuss, P. H. biên tập (1843). “Lettre VIII. Goldbach à Euler”. Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle [Thư từ toán học và vật lý của một số nhà hình học nổi tiếng thế kỷ 18]. Saint Petersbourg, Nga: Viện Hàn lâm Khoa học. tr. 32–34. 
  50. ↑ Furstenberg, Harry (1955). “On the infinitude of primes”. American Mathematical Monthly 62 (5): 353. JSTOR 2307043. MR 0068566. doi:10.2307/2307043. 
  51. 1 2 Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. tr. 4. ISBN 978-0-387-20169-6. 
  52. ↑ Bộ Cơ sở của Euclid, quyển 9, mệnh đề 20. Xem bản dịch tiếng Anh của David Joyce hoặc Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. tr. 63. OCLC 642232959. 
  53. ↑ Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. tr. 82–89. ISBN 978-0-201-52989-0. 
  54. 1 2 3 Matiyasevich, Yuri V. (1999). “Formulas for prime numbers”. Trong Tabachnikov, Serge. Kvant Selecta: Algebra and Analysis II. American Mathematical Society. tr. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9. 
  55. ↑ Mackinnon, Nick (tháng 6 năm 1987). “Prime number formulae”. The Mathematical Gazette 71 (456): 113–114. JSTOR 3616496. doi:10.2307/3616496. 
  56. ↑ Wright, E.M. (1951). “A prime-representing function”. American Mathematical Monthly 58 (9): 616–618. JSTOR 2306356. doi:10.2307/2306356. 
  57. ↑ Guy, Richard (2013). Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics. Springer. tr. vii. ISBN 978-0-387-26677-0. 
  58. ↑ Guy 2013, tr. 105–107
  59. ↑ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). “Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} ”. Mathematics of Computation 83 (288): 2033–2060. MR 3194140. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1. 
  60. ↑ Tao, Terence (2009). “3.1 Structure and randomness in the prime numbers”. Poincaré's legacies, pages from year two of a mathematical blog. Part I. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 239–247. ISBN 978-0-8218-4883-8. MR 2523047.  Đặc biệt xem tr. 239.
  61. ↑ Guy 2013, tr. 159
  62. ↑ Ramaré, Olivier (1995). “On Šnirel'man's constant” (PDF). Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 22 (4): 645–706. MR 1375315. 
  63. ↑ Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. tr. vii. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. 
  64. ↑ Koshy 2002, tr. 109. Riesel 1994 cũng có lập luận tương tự sử dụng giai thừa nguyên tố thay vì giai thừa.
  65. 1 2 Riesel 1994, tr. 78–79
  66. ↑ “Sloane's A100964 : Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n”. Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến. Tổ chức OEIS. 
  67. 1 2 3 Ribenboim 2004, tr. 186–192
  68. 1 2 Ribenboim 2004, tr. 183
  69. ↑ Chan, Joel (tháng 2 năm 1996). “Prime time!”. Math Horizons 3 (3): 23–25. JSTOR 25678057. doi:10.1080/10724117.1996.11974965.  Chú ý rằng Chan viết giả thuyết Legendre thành "tiên đề Sierpinski".
  70. ↑ Ribenboim 2004, tr. 201–202
  71. ↑ Sandifer 2007, tr. 205–208
  72. ↑ Ogilvy, C.S.; Anderson, J.T. (1988). Excursions in Number Theory. Dover Publications Inc. tr. 29–35. ISBN 978-0-486-25778-5. 
  73. ↑ Apostol 1976, mục 1.6, định lý 1.13
  74. ↑ Apostol 1976, mục 4.8, định lý 4.12
  75. 1 2 Miller, Steven J.; Takloo-Bighash, Ramin (2006). An Invitation to Modern Number Theory. Princeton University Press. tr. 43–44. ISBN 978-0-691-12060-7. 
  76. ↑ Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (ấn bản 2). Springer. tr. 6. ISBN 978-0-387-25282-7. 
  77. ↑ Crandall & Pomerance 2005, tr. 152–162
  78. 1 2 Crandall & Pomerance 2005, tr. 10
  79. ↑ du Sautoy, Marcus (2011). “What are the odds that your telephone number is prime?”. The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. tr. 50–52. ISBN 978-0-230-12028-0. 
  80. ↑ Apostol 1976, mục 4.6, định lý 4.7
  81. ↑ Gelfand, I.M.; Shen, Alexander (2003). Algebra. Springer. tr. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7. 
  82. ↑ Mollin, Richard A. (1997). Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. tr. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5. 
  83. ↑ Crandall & Pomerance 2005, tr. 12
  84. ↑ Green, Ben; Tao, Terence (2008). “The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions”. Annals of Mathematics 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188. doi:10.4007/annals.2008.167.481. 
  85. ↑ Hua, L.K. (2009) [1965]. Additive Theory of Prime Numbers. Translations of Mathematical Monographs 13. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 176–177. ISBN 978-0-8218-4942-2. MR 0194404. OCLC 824812353. 
  86. ↑ Dãy các giá trị nguyên tố này, bắt đầu tại n = 1 {\displaystyle n=1} thay vì n = 0 {\displaystyle n=0} , có trong Lava, Paolo Pietro; Balzarotti, Giorgio (2010). “Chapter 33. Formule fortunate”. 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea (bằng tiếng Italy). Ulrico Hoepli Editore S.p.A. tr. 133. ISBN 978-88-203-5804-4. 
  87. ↑ Chamberland, Marc (2015). “The Heegner numbers”. Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. tr. 213–215. ISBN 978-1-4008-6569-7. 
  88. 1 2 Guy 2013, tr. 7–10
  89. ↑ Patterson, S.J. (1988). An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 14. Cambridge University Press, Cambridge. tr. 1. ISBN 978-0-521-33535-5. MR 933558. doi:10.1017/CBO9780511623707. 
  90. ↑ Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (2008). The Riemann hypothesis: A resource for the afficionado and virtuoso alike. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC. New York: Springer. tr. 10–11. ISBN 978-0-387-72125-5. MR 2463715. doi:10.1007/978-0-387-72126-2. 
  91. ↑ Sandifer 2007, tr. 191–193
  92. ↑ Borwein và đồng nghiệp 2008, tr. 15
  93. ↑ Patterson 1988, tr. 7
  94. 1 2 Borwein và đồng nghiệp 2008, tr. 18
  95. ↑ Nathanson 2000, tr. 289–324
  96. ↑ Zagier, Don (1977). “The first 50 million prime numbers”. The Mathematical Intelligencer 1 (S2): 7–19. doi:10.1007/bf03351556.  Đặc biệt xem tr. 14–16.
  97. ↑ Kraft & Washington 2014, tr. 96
  98. ↑ Shahriari, Shahriar (2017). Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields. Pure and Applied Undergraduate Texts 27. American Mathematical Society. tr. 20–21. ISBN 978-1-4704-2849-5. 
  99. ↑ Dudley 1978, tr. 28
  100. ↑ Shahriari 2017, tr. 27–28
  101. ↑ Ribenboim 2004, tr. 17–21
  102. ↑ Ribenboim 2004, tr. 21–22
  103. ↑ Ribenboim 2004, tr. 21
  104. 1 2 3 Childress, Nancy (2009), Class Field Theory, Universitext, Springer, New York, tr. 8–11, ISBN 978-0-387-72489-8, MR 2462595, doi:10.1007/978-0-387-72490-4 . Xem thêm tr. 64.
  105. ↑ Erickson, Marty; Vazzana, Anthony; Garth, David (2016). Introduction to Number Theory. Textbooks in Mathematics (ấn bản 2). Boca Raton, FL: CRC Press. tr. 200. ISBN 978-1-4987-1749-6. MR 3468748. 
  106. ↑ Weil, André (1995). Basic Number Theory. Classics in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. tr. 43. ISBN 978-3-540-58655-5. MR 1344916.  Chú ý rằng một số tác giả như Childress (2009) sử dụng thuật ngữ "vị trí" để chỉ một lớp chuẩn tương đương.
  107. ↑ Koch, H. (1997). Algebraic Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. tr. 136. ISBN 978-3-540-63003-6. MR 1474965. doi:10.1007/978-3-642-58095-6. 
  108. ↑ Lauritzen, Niels (2003). Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases. Cambridge: Cambridge University Press. tr. 127. ISBN 978-0-521-53410-9. MR 2014325. doi:10.1017/CBO9780511804229. 
  109. ↑ Lauritzen 2003, tr. 133, 136
  110. ↑ Kraft & Washington 2014, tr. 297–301
  111. ↑ Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics 150. Berlin; New York: Springer-Verlag. Mục 3.3. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. 
  112. ↑ Shafarevich, Igor R. (2013). “Definition of Spec ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Spec} A} ”. Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (ấn bản 3). Springer, Heidelberg. tr. 5. ISBN 978-3-642-38009-9. MR 3100288. doi:10.1007/978-3-642-38010-5. 
  113. ↑ Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Nguyên tắc cơ bản của khoa học toán học] 322. Berlin: Springer-Verlag. tr. 50. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. 
  114. ↑ Neukirch 1999, tr. 38
  115. ↑ Stevenhagen, P.; Lenstra, H.W., Jr. (1996). “Chebotarëv and his density theorem”. The Mathematical Intelligencer 18 (2): 26–37. MR 1395088. doi:10.1007/BF03027290. 
  116. ↑ Hall, Marshall (2018). The Theory of Groups. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6.  Đối với định lý Sylow, xem tr. 43; với định lý Lagrange, xem tr. 12; với định lý Burnside, xem tr. 143.
  117. ↑ Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008). How Round is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet. Princeton University Press. tr. 178. ISBN 978-0-691-13118-4. 
  118. ↑ Hardy, Godfrey Harold (2012) [1940]. A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. tr. 140. ISBN 978-0-521-42706-7. OCLC 922010634. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years. 
  119. ↑ Giblin, Peter (1993). Primes and Programming. Cambridge University Press. tr. 39. ISBN 978-0-521-40988-9. 
  120. ↑ Giblin 1993, tr. 54
  121. 1 2 Riesel 1994, tr. 220
  122. ↑ Bullynck, Maarten (2010). “A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817”. Revue d'Histoire des Mathématiques 16 (2): 133–216. 
  123. ↑ Wagstaff, Samuel S. Jr. (2013). The Joy of Factoring. Student mathematical library 68. American Mathematical Society. tr. 191. ISBN 978-1-4704-1048-3. 
  124. ↑ Crandall & Pomerance 2005, tr. 121
  125. ↑ Farach-Colton, Martín; Tsai, Meng-Tsung (2015). “On the complexity of computing prime tables”. Trong Elbassioni, Khaled; Makino, Kazuhisa. Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 9472. Springer. tr. 677–688. arXiv:1504.05240. doi:10.1007/978-3-662-48971-0_57. 
  126. ↑ Greaves, George (2013). Sieves in Number Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43. Springer. tr. 1. ISBN 978-3-662-04658-6. 
  127. 1 2 Hromkovič, Juraj (2001). “5.5 Bibliographic Remarks”. Algorithmics for Hard Problems. Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series. Springer-Verlag, Berlin. tr. 383–385. ISBN 978-3-540-66860-2. MR 1843669. doi:10.1007/978-3-662-04616-6. 
  128. 1 2 Koblitz, Neal (1987). “Chapter V. Primality and Factoring”. A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics 114. Springer-Verlag, New York. tr. 112–149. ISBN 978-0-387-96576-5. MR 910297. doi:10.1007/978-1-4684-0310-7_5. 
  129. ↑ Pieprzyk, Josef; Hardjono, Thomas; Seberry, Jennifer (2013). “2.3.9 Probabilistic Computations”. Fundamentals of Computer Security. Springer. tr. 51–52. ISBN 978-3-662-07324-7. 
  130. 1 2 Tao, Terence (2010). “1.11 The AKS primality test”. An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog. Graduate Studies in Mathematics 117. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 82–86. ISBN 978-0-8218-5280-4. MR 2780010. doi:10.1090/gsm/117. 
  131. 1 2 Atkin, A. O. L.; Morain, F. (1993). “Elliptic curves and primality proving” (PDF). Mathematics of Computation 61 (203): 29–68. JSTOR 2152935. MR 1199989. doi:10.1090/s0025-5718-1993-1199989-x. 
  132. 1 2 Morain, F. (2007). “Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm”. Mathematics of Computation 76 (257): 493–505. Bibcode:2007MaCom..76..493M. MR 2261033. arXiv:math/0502097. doi:10.1090/S0025-5718-06-01890-4. 
  133. ↑ Lenstra, Jr., H.W.; Pomerance, Carl (2019). “Primality testing with Gaussian periods” (PDF). Journal of the European Mathematical Society 21 (4): 1229–1269. MR 3941463. doi:10.4171/JEMS/861. 
  134. ↑ Pomerance, Carl; Selfridge, John L.; Wagstaff, Samuel S. Jr. (tháng 7 năm 1980). “The pseudoprimes to 25·109” (PDF). Mathematics of Computation 35 (151): 1003–1026. JSTOR 2006210. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7. 
  135. ↑ Baillie, Robert; Wagstaff, Samuel S. Jr. (tháng 10 năm 1980). “Lucas Pseudoprimes” (PDF). Mathematics of Computation 35 (152): 1391–1417. JSTOR 2006406. MR 583518. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6. 
  136. 1 2 Monier, Louis (1980). “Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms”. Theoretical Computer Science 12 (1): 97–108. MR 582244. doi:10.1016/0304-3975(80)90007-9. 
  137. ↑ Tao 2009, tr. 36–41
  138. ↑ Kraft & Washington 2014, tr. 41
  139. ↑ Chẳng hạn xem Guy 2013, tr. 13–21
  140. ↑ “Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize”. Tổ chức Biên giới Điện tử. 14 tháng 10 năm 2009. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  141. ↑ “EFF Cooperative Computing Awards”. Tổ chức Biên giới Điện tử. 29 tháng 2 năm 2008. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  142. ↑ “GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1”. Mersenne Research, Inc. 21 tháng 12 năm 2018. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  143. ↑ “PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject” (PDF). Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  144. ↑ Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Factorial”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  145. ↑ Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Primorial”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  146. ↑ Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Twin Primes”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  147. ↑ Kraft & Washington 2014, tr. 275
  148. ↑ Hoffstein, Jeffrey; Pipher, Jill; Silverman, Joseph H. (2014). An Introduction to Mathematical Cryptography. Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản 2). Springer. tr. 329. ISBN 978-1-4939-1711-2. 
  149. ↑ Pomerance, Carl (1996). “A tale of two sieves”. Notices of the American Mathematical Society 43 (12): 1473–1485. MR 1416721. 
  150. ↑ Zimmermann, Paul (28 tháng 2 năm 2020). “Factorization of RSA-250”. Danh sách thư cado-nfs-discuss. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  151. ↑ Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. (2011). “Chapter 8. Shor's Algorithm”. Quantum Computing: A Gentle Introduction. MIT Press. tr. 163–176. ISBN 978-0-262-01506-6. 
  152. ↑ Martín-López, Enrique; Laing, Anthony; Lawson, Thomas; Alvarez, Roberto; Zhou, Xiao-Qi; O'Brien, Jeremy L. (12 tháng 10 năm 2012). “Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using qubit recycling”. Nature Photonics 6 (11): 773–776. Bibcode:2012NaPho...6..773M. arXiv:1111.4147. doi:10.1038/nphoton.2012.259. 
  153. ↑ Chirgwin, Richard (9 tháng 10 năm 2016). “Crypto needs more transparency, researchers warn”. The Register. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  154. ↑ Hoffstein, Pipher & Silverman 2014, tr. 65–67
  155. ↑ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. “11.3 Universal hashing”. Introduction to Algorithms (ấn bản 2). MIT Press và McGraw-Hill. tr. 232–236. ISBN 0-262-03293-7.  Đối với băm k {\displaystyle k} -độc lập xem bài toán 11–4, tr. 251. Đối với phần ghi công Carter và Wegman xem chú thích chương, tr. 252.
  156. ↑ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2006). Data Structures & Algorithms in Java (ấn bản 4). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-73884-8.  Xem "Quadratic probing", tr. 382, và bài tập C–9.9, tr. 415.
  157. ↑ Kirtland, Joseph (2001). Identification Numbers and Check Digit Schemes. Classroom Resource Materials 18. Mathematical Association of America. tr. 43–44. ISBN 978-0-88385-720-5. 
  158. ↑ Deutsch, P. (1996). ZLIB Compressed Data Format Specification version 3.3. Request for Comments 1950. Network Working Group. 
  159. ↑ Knuth, Donald E. (1998). “3.2.1 The linear congruential model”. The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical algorithms (ấn bản 3). Addison-Wesley. tr. 10–26. ISBN 978-0-201-89684-8. 
  160. ↑ Matsumoto, Makoto; Nishimura, Takuji (1998). “Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator”. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation 8 (1): 3–30. doi:10.1145/272991.272995. 
  161. ↑ Roth, K.F. (1951). “On a problem of Heilbronn”. Journal of the London Mathematical Society. Second Series 26 (3): 198–204. MR 0041889. doi:10.1112/jlms/s1-26.3.198. 
  162. ↑ Cox, David A. (2011). “Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first” (PDF). American Mathematical Monthly 118 (1): 3–31. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.01.003. 
  163. ↑ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 211. Berlin; New York: Springer-Verlag. tr. 90. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. 
  164. ↑ Schubert, Horst (1949). “Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten”. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (3): 57–104. MR 0031733. 
  165. ↑ Milnor, J. (1962). “A unique decomposition theorem for 3-manifolds”. American Journal of Mathematics 84 (1): 1–7. JSTOR 2372800. MR 0142125. doi:10.2307/2372800. 
  166. ↑ Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2001). 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. CMS Books in Mathematics 9. New York: Springer-Verlag. tr. 1–2. ISBN 978-0-387-95332-8. MR 1866957. doi:10.1007/978-0-387-21850-2. 
  167. 1 2 Boklan, Kent D.; Conway, John H. (tháng 1 năm 2017). “Expect at most one billionth of a new Fermat prime!”. The Mathematical Intelligencer 39 (1): 3–5. arXiv:1605.01371. doi:10.1007/s00283-016-9644-3. 
  168. ↑ Gleason, Andrew M. (1988). “Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon”. American Mathematical Monthly 95 (3): 185–194. JSTOR 2323624. MR 935432. doi:10.2307/2323624. 
  169. ↑ Ziegler, Günter M. (2015). “Cannons at sparrows”. European Mathematical Society Newsletter (95): 25–31. MR 3330472. 
  170. ↑ Peterson, Ivars (28 tháng 6 năm 1999). “The Return of Zeta”. MAA Online. Bản gốc lưu trữ ngày 5 tháng 11 năm 1999. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  171. ↑ Hayes, Brian (2003). “Computing science: The spectrum of Riemannium”. American Scientist 91 (4): 296–300. JSTOR 27858239. doi:10.1511/2003.26.3349. 
  172. ↑ Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement (ấn bản 2). Cambridge: Cambridge University Press. tr. 313–354. ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC 967938939. 
  173. ↑ Zhu, Huangjun (2010). “SIC POVMs and Clifford groups in prime dimensions” (PDF). Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 43 (30): 305305. Bibcode:2010JPhA...43D5305Z. arXiv:1003.3591. doi:10.1088/1751-8113/43/30/305305. 
  174. ↑ Goles, E.; Schulz, O.; Markus, M. (2001). “Prime number selection of cycles in a predator-prey model”. Complexity 6 (4): 33–38. Bibcode:2001Cmplx...6d..33G. doi:10.1002/cplx.1040. 
  175. ↑ Campos, Paulo R.A.; de Oliveira, Viviane M.; Giro, Ronaldo; Galvão, Douglas S. (2004). “Emergence of prime numbers as the result of evolutionary strategy”. Physical Review Letters 93 (9): 098107. Bibcode:2004PhRvL..93i8107C. PMID 15447148. arXiv:q-bio/0406017. doi:10.1103/PhysRevLett.93.098107. 
  176. ↑ “Invasion of the Brood”. The Economist. 6 tháng 5 năm 2004. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  177. ↑ Zimmer, Carl (15 tháng 5 năm 2015). “Bamboo Mathematicians”. Phenomena: The Loom. National Geographic. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  178. ↑ Hill, Peter Jensen biên tập (1995). The Messiaen companion. Portland, OR: Amadeus Press. Ex. 13.2 Messe de la Pentecôte 1 'Entrée'. ISBN 978-0-931340-95-6. 
  179. ↑ Pomerance, Carl (2004). “Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence” (PDF). Trong Hayes, David F.; Ross, Peter. Mathematical Adventures for Students and Amateurs. MAA Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. tr. 3–6. ISBN 978-0-88385-548-5. MR 2085842. 
  180. ↑ GrrlScientist (16 tháng 9 năm 2010). “The Curious Incident of the Dog in the Night-Time”. Science. The Guardian. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  181. ↑ Schillinger, Liesl (9 tháng 4 năm 2010). “Counting on Each Other”. Sunday Book Review. The New York Times. 

Tài liệu tham khảo

WikiPedia: Số nguyên tố http://www.primos.mat.br/indexen.html http://www.britannica.com/EBchecked/topic/476309 http://adsabs.harvard.edu/abs/1982SciAm.247f.136P http://adsabs.harvard.edu/abs/2001Cmplx...6d..33G http://adsabs.harvard.edu/abs/2004PhRvL..93i8107C http://adsabs.harvard.edu/abs/2007MaCom..76..493M http://adsabs.harvard.edu/abs/2010JPhA...43D5305Z http://adsabs.harvard.edu/abs/2012NaPho...6..773M http://primes.utm.edu/ http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1